Σの公式と計算
着眼点\sum は展開して k^2,\ k,\ 1 ごとに分け、公式に入れる。最後は n でくくって因数分解。
\sum_{k=1}^n c=nc,\quad \sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum_{k=1}^n k^3=\Big\{\frac{n(n+1)}{2}\Big\}^2
\sum_{k=1}^n r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}\ (r\ne1)
例題
1
\sum_{k=1}^n(2k-1)^2 を求めよ。
解答
\sum(4k^2-4k+1)=4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n
=\frac{n}{3}\{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3\}=\frac{n}{3}(4n^2-1)
答 \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}
（検算 n=2：1+9=10、\frac{2\cdot3\cdot5}{3}=10）
答 \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}
（検算 n=2：1+9=10、\frac{2\cdot3\cdot5}{3}=10）
2
\sum_{k=1}^n k(k+1) を求めよ。
解答
\sum(k^2+k)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{6}(2n+1+3)
答 \frac{n(n+1)(n+2)}{3}
（検算 n=2：2+6=8、\frac{2\cdot3\cdot4}{3}=8）
（検算 n=2：2+6=8、\frac{2\cdot3\cdot4}{3}=8）
ポイント答えが出たら n=1,2 を代入して元の和と比べる。10秒でできる最強の検算。
注意\sum_{k=1}^{n-1} のときは公式の n を n-1 に置き換える。\sum_{k=1}^n 3 は 3 ではなく 3n。