a_{n+1}=pa_n+q（特性方程式）
着眼点\alpha=p\alpha+q を解いて a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha) と変形。\{a_n-\alpha\} が等比数列になる。
- p=1：等差数列（a_{n+1}=a_n+q）
- q=0：等比数列
- a_{n+1}=a_n+f(n)：階差数列（a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)）
- a_{n+1}=pa_n+q\ (p\ne1)：a_n-\alpha=(a_1-\alpha)p^{n-1}
例題
1
a_1=1,\ a_{n+1}=3a_n-4 で定まる数列の一般項を求めよ。
解答
\alpha=3\alpha-4 より \alpha=2。a_{n+1}-2=3(a_n-2)。
\{a_n-2\} は初項 -1、公比 3 の等比数列：a_n-2=-3^{n-1}。
答 a_n=2-3^{n-1}
（検算：a_2=3-4=-1、式で 2-3=-1）
\{a_n-2\} は初項 -1、公比 3 の等比数列：a_n-2=-3^{n-1}。
答 a_n=2-3^{n-1}
（検算：a_2=3-4=-1、式で 2-3=-1）
2
a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+3 で定まる数列の一般項を求めよ。
解答
\alpha=2\alpha+3 より \alpha=-3。a_{n+1}+3=2(a_n+3)。
a_n+3=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1}。
答 a_n=2^{n+1}-3
a_n+3=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1}。
答 a_n=2^{n+1}-3
注意特性方程式は「変形のための計算メモ」。記述式では a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha) の変形の方を書く。