分数の和は部分分数分解で消える（差の形）
着眼点\frac{1}{(\text{積})} の和は「差」に分けて、隣どうしを打ち消させる。残る項を初めと終わりで確認。
\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac{1}{k+1},\qquad \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\Big(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\Big)
一般に \frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\Big(\frac1A-\frac1B\Big)。
例題
1
\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} を求めよ。
解答
\frac12\Big\{\Big(1-\frac13\Big)+\Big(\frac13-\frac15\Big)+\cdots+\Big(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Big)\Big\}=\frac12\Big(1-\frac{1}{2n+1}\Big)
答 \frac{n}{2n+1}
2
\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} を求めよ。
解答
有理化：\frac{1}{\sqrt k+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt k。
和は (\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt n)
答 \sqrt{n+1}-1
和は (\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt n)
答 \sqrt{n+1}-1
注意\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} の分解で係数 \frac12 を忘れやすい。分けた後に通分して元に戻るか確認。