等比数列の一般項と和
着眼点和の公式は r\ne1 のときだけ。r=1 の可能性があれば必ず分ける。
a_n=ar^{n-1}
S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\ (r\ne1),\qquad S_n=na\ (r=1)
例題
1
第2項が 6、第5項が 162 の等比数列（公比は実数）の一般項と、初項から第 n 項までの和を求めよ。
解答
ar=6,\ ar^4=162 より r^3=27、r=3,\ a=2。
a_n=2\cdot3^{n-1}、S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=3^n-1
答 a_n=2\cdot3^{n-1}、S_n=3^n-1
a_n=2\cdot3^{n-1}、S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=3^n-1
答 a_n=2\cdot3^{n-1}、S_n=3^n-1
2
公比が実数の等比数列で、初項から第3項までの和が 7、第6項までの和が 63 のとき、初項と公比を求めよ。
解答
r=1 なら S_6=2S_3=14\ne63 なので r\ne1。
S_6=S_3+r^3S_3=(1+r^3)S_3 より 1+r^3=9、r=2。
a(1+2+4)=7 より a=1。
答 初項 1、公比 2
S_6=S_3+r^3S_3=(1+r^3)S_3 より 1+r^3=9、r=2。
a(1+2+4)=7 より a=1。
答 初項 1、公比 2
注意r が文字のまま和を求めるときに r=1 の場合を忘れるのが典型的な減点。