S_n と a_n が混ざった漸化式
着眼点n を n+1 にずらした式と引いて S_n を消す（S_{n+1}-S_n=a_{n+1}）。a_1 は n=1 を代入して別に出す。
例題
1
S_n=2a_n-n を満たす数列 \{a_n\} の一般項を求めよ。
解答
n=1：a_1=2a_1-1 より a_1=1。
S_{n+1}=2a_{n+1}-(n+1) との差：a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n-1、すなわち a_{n+1}=2a_n+1。
a_{n+1}+1=2(a_n+1)、a_1+1=2 より a_n+1=2^n。
答 a_n=2^n-1（検算：S_2=1+3=4、2a_2-2=4）
S_{n+1}=2a_{n+1}-(n+1) との差：a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n-1、すなわち a_{n+1}=2a_n+1。
a_{n+1}+1=2(a_n+1)、a_1+1=2 より a_n+1=2^n。
答 a_n=2^n-1（検算：S_2=1+3=4、2a_2-2=4）