（等差）×（等比）の和は S-rS
着眼点\sum k\cdot r^{k-1} の形は、S と rS を1つずらして並べて引く。等比数列の和が現れる。
例題
1
S=\sum_{k=1}^n k\cdot2^{k-1} を求めよ。
解答
S=1+2\cdot2+3\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^{n-1}
2S=\quad\ \ 1\cdot2+2\cdot2^2+\cdots+(n-1)2^{n-1}+n\cdot2^n
引くと -S=1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}-n\cdot2^n=2^n-1-n\cdot2^n 答 S=(n-1)2^n+1
（検算 n=3：1+4+12=17、2\cdot8+1=17）
2S=\quad\ \ 1\cdot2+2\cdot2^2+\cdots+(n-1)2^{n-1}+n\cdot2^n
引くと -S=1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}-n\cdot2^n=2^n-1-n\cdot2^n 答 S=(n-1)2^n+1
（検算 n=3：1+4+12=17、2\cdot8+1=17）
注意引き算の最後の項 -n\cdot2^n を落としやすい。ずらして縦にそろえて書く。