共分散と相関係数
着眼点表を作って「x の偏差」「y の偏差」「積」「2乗」を列ごとに足すのが最速で確実。
s_{xy}=\frac{1}{n}\sum (x_k-\overline{x})(y_k-\overline{y}),\qquad r=\frac{s_{xy}}{s_x s_y}\quad(-1\le r\le 1)
1/n は分子分母で消えるので、r=\dfrac{\sum(\text{偏差の積})}{\sqrt{\sum(x\text{偏差})^2}\sqrt{\sum(y\text{偏差})^2}} で計算してよい。
例題
1
標準偏差 s_x=4,\ s_y=5、共分散 s_{xy}=-12 のとき相関係数を求めよ。
解答
r=\dfrac{-12}{4\times5}=-0.6。答 -0.6
2
5組のデータ (x,y)=(1,2),(2,4),(3,5),(4,4),(5,5) の相関係数を求めよ（小数第2位まで）。
解答
\overline{x}=3,\ \overline{y}=4。
x の偏差 -2,-1,0,1,2、y の偏差 -2,0,1,0,1。
積の和 4+0+0+0+2=6、x 偏差の2乗和 10、y 偏差の2乗和 4+0+1+0+1=6。
r=\dfrac{6}{\sqrt{10}\sqrt{6}}=\dfrac{6}{2\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\approx0.77。
答 約0.77
x の偏差 -2,-1,0,1,2、y の偏差 -2,0,1,0,1。
積の和 4+0+0+0+2=6、x 偏差の2乗和 10、y 偏差の2乗和 4+0+1+0+1=6。
r=\dfrac{6}{\sqrt{10}\sqrt{6}}=\dfrac{6}{2\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\approx0.77。
答 約0.77
注意相関係数が -1\sim1 を超えたら計算ミス。共分散は負になり得るが、分散・標準偏差は負にならない。