分散と標準偏差
着眼点定義（偏差の2乗の平均）と、計算用の公式「2乗の平均 − 平均の2乗」の2つを使い分ける。
s^2=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k-\overline{x})^2=\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2,\qquad s=\sqrt{s^2}
平均値が整数で偏差が小さいときは定義どおり、平均が半端なときや「2乗の平均」が与えられたときは右の公式。
例題
1
データ 2,4,6,8,10 の分散と標準偏差を求めよ。
解答
平均 6。偏差は -4,-2,0,2,4、2乗の和は 16+4+0+4+16=40。
分散 40\div 5=8、標準偏差 \sqrt{8}=2\sqrt{2}。
答 分散8、標準偏差 2\sqrt{2}
分散 40\div 5=8、標準偏差 \sqrt{8}=2\sqrt{2}。
答 分散8、標準偏差 2\sqrt{2}
2
データ 1,3,4,6,6 の分散を、公式 \overline{x^2}-(\overline{x})^2 で求めよ。
解答
\overline{x}=20\div5=4。
\overline{x^2}=(1+9+16+36+36)\div5=98\div5=19.6。
s^2=19.6-16=3.6。
（検算：偏差 -3,-1,0,2,2 の2乗和 18、18\div5=3.6）
答 3.6
\overline{x^2}=(1+9+16+36+36)\div5=98\div5=19.6。
s^2=19.6-16=3.6。
（検算：偏差 -3,-1,0,2,2 の2乗和 18、18\div5=3.6）
答 3.6
注意標準偏差を求めて終わりの問題で、分散のまま答えるミスに注意。単位も「元のデータと同じ」になるのは標準偏差。
確認問題
1
5個のデータの平均が5、分散が4のとき、各値の2乗の平均は？
答え
\overline{x^2}=s^2+(\overline{x})^2=4+25=29