漸化式の型別処理（等比型・特性方程式・分数型・連立）
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要点
a_(n+1)=pa_n+qの特性方程式α=pα+qを解く理由は、この式を使うとa_(n+1)−α=p(a_n−α)と書き直せて、数列{a_n−α}が公比pの等比数列になるから。αは『動かない点』を表している。分数型で逆数を取る、積の形で対数を取る、といった変換もすべて『既知の型（等差・等比）に帰着させる』という同じ目的を持つ。
こんなときに使う
- a_(n+1)=pa_n+qの形は特性方程式を解いて等比数列に帰着させる
- 分数型（a_(n+1)=a_n/(pa_n+q)など）は逆数を取る
- 積の形は対数を取って和の形に変える
手順
- 1. 型を判別する（等比、階差、分数、積など）
- 2. 特性方程式、逆数、対数など適切な変換を行う
- 3. 既知の型（等差・等比）に帰着させて一般項を求める
例題
a₁=1、a_(n+1)=2a_n+3の一般項を求めよ。
解答
- 特性方程式α=2α+3よりα=−3
- a_(n+1)+3=2(a_n+3)なので{a_n+3}は公比2の等比数列。
- a_n+3=(a_1+3)・2^(n−1)=4・2^(n−1)
- ∴ a_n=2^(n+1)−3
別解・ほかの見方
- 連立漸化式は行列（または加減法）で対角化して解く
落とし穴
- 特性方程式の解を求めた後、元の数列にどう適用するかの手順を誤る
- 型に当てはめられない形で手が止まる（両辺を何かで割る・置換する発想）
なぜ大事か
確率漸化式・数III極限のすべての前提。型を反射で分類できる状態が目標
東大での出方
確率漸化式・数III極限のすべての前提。型を反射で分類できる状態が目標。
確認問題
- a₁=2、a_(n+1)=3a_n−4の一般項を求めよ
前提になるノード
- 階差数列・Sとaの関係
- ⑩ 特性方程式型 a(n+1)=p·a(n)+q
- ⑪ 指数型 a(n+1)=p·a(n)+rⁿ（rⁿ⁺¹で割る）
- ⑫ nの多項式型 a(n+1)=p·a(n)+(An+B)
- ⑬ 分数型（逆数をとる） a(n+1)=a(n)/(p·a(n)+q)
- ⑮ 隣接3項間 a(n+2)+p·a(n+1)+q·a(n)=0
- ⑯ 連立漸化式（和と差・消去）
このノードを前提にするノード
「漸化式」のノード
- ⑩ 特性方程式型 a(n+1)=p·a(n)+q
- ⑪ 指数型 a(n+1)=p·a(n)+rⁿ（rⁿ⁺¹で割る）
- ⑫ nの多項式型 a(n+1)=p·a(n)+(An+B)
- ⑬ 分数型（逆数をとる） a(n+1)=a(n)/(p·a(n)+q)
- ⑭ 積・累乗型（対数をとる） a(n+1)=q·a(n)^p
- ⑮ 隣接3項間 a(n+2)+p·a(n+1)+q·a(n)=0
- ⑯ 連立漸化式（和と差・消去）
- ⑰ 和S(n)と一般項の混在型
- ⑱ 一次分数変換型 a(n+1)=(p·a(n)+q)/(r·a(n)+s)
- ⑲ 三角関数置換型 a(n+1)=2a(n)²−1
- ⑳ 偶奇分け（(−1)ⁿ型・2つ飛び）
- ㉑ 周期・余り（mod）を書き出して見つける
- 漸化式の型別処理（等比型・特性方程式・分数型・連立）
- ㉔ 推測＋数学的帰納法（誘導のない漸化式）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。