⑪ 指数型 a(n+1)=p·a(n)+rⁿ（rⁿ⁺¹で割る）
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要点
rⁿ がじゃまなら、両辺を rⁿ⁺¹ で割って b(n) = a(n)/rⁿ と置くと b(n+1) = (p/r)b(n) + 1/r となり⑩に落ちる。pⁿ⁺¹ で割れば c(n+1) = c(n) + (r/p)ⁿ/p となり③（階差型）に落ちる。どちらで割っても解けるが、p = r のときは割ると b(n+1) = b(n) + 1/r の等差数列になり、答えに n·rⁿ が現れる（共鳴型）。
こんなときに使う
- a(n+1) = p·a(n) + (定数)·rⁿ
- p と r が等しい → 共鳴型。答えは n·pⁿ の形になると予想できる
- 3項間漸化式で重解（⑮）を処理した後の a(n+1) − α·a(n) = c·αⁿ もこの形
手順
- 1. 両辺を rⁿ⁺¹（または pⁿ⁺¹）で割る
- 2. b(n) = a(n)/rⁿ と置き、b の漸化式に書き直す
- 3. p ≠ r なら⑩、p = r なら等差数列、pⁿ⁺¹ で割ったなら③で解く
- 4. a(n) = rⁿ·b(n) に戻す
- 5. a(2) で検算する
例題
a(1) = 1、a(n+1) = 2a(n) + 3ⁿ の一般項を求めよ。
解答
- 両辺を 3ⁿ⁺¹ で割る：a(n+1)/3ⁿ⁺¹ = (2/3)·a(n)/3ⁿ + 1/3
- b(n) = a(n)/3ⁿ とおくと b(n+1) = (2/3)b(n) + 1/3、b(1) = 1/3
- α = 1 なので b(n+1) − 1 = (2/3)(b(n) − 1)
- b(n) − 1 = (1/3 − 1)(2/3)ⁿ⁻¹ = −(2/3)ⁿ
- ∴ a(n) = 3ⁿ·b(n) = 3ⁿ − 2ⁿ
- 検算：a(2) = 2 + 3 = 5、9 − 4 = 5 ○
- 共鳴型の例：a(1) = 1、a(n+1) = 2a(n) + 2ⁿ なら 2ⁿ⁺¹ で割って b(n+1) = b(n) + 1/2、b(1) = 1/2 より b(n) = n/2、a(n) = n·2ⁿ⁻¹
別解・ほかの見方
- 2ⁿ⁺¹ で割って階差型にする：c(n) = a(n)/2ⁿ、c(n+1) − c(n) = (1/2)(3/2)ⁿ、③で戻す
- a(n) = A·3ⁿ + B·2ⁿ と形を決め打ちして係数を合わせる（解の形が分かっているときの検算にもなる）
落とし穴
- rⁿ で割って rⁿ⁺¹ で割ったつもりになり、係数が1つずれる
- 共鳴型（p = r）で特性方程式を立てて α が出ない、と止まる
- b(1) = a(1)/r の計算で r と r² を取り違える
- p = r のとき特性方程式型に持ち込もうとして詰まる／割る指数を1ずらす
なぜ大事か
非同次項が指数のとき、割って⑩か③に落とす。p = r の共鳴型で答えに n が掛かる
東大での出方
確率漸化式で (1/2)ⁿ のような項が残るときによく出る。共鳴型は東大好みの『形が崩れる場合』。
確認問題
- a(1) = 3、a(n+1) = 3a(n) + 3ⁿ⁺¹ の一般項を求めよ（答：a(n) = n·3ⁿ）
- a(1) = 1、a(n+1) = 2a(n) + 3ⁿ を 2ⁿ⁺¹ で割る方法でも解き、同じ答えになるか確かめよ
発展
一般に a(n+1) = p·a(n) + f(n) の解は『等比部分 C·pⁿ』＋『f(n) と同じ形の特殊解』。f が rⁿ なら A·rⁿ、ただし r = p なら n·pⁿ に格上げ。微分方程式と同じ構造。
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「漸化式」のノード
- ⑩ 特性方程式型 a(n+1)=p·a(n)+q
- ⑪ 指数型 a(n+1)=p·a(n)+rⁿ（rⁿ⁺¹で割る）
- ⑫ nの多項式型 a(n+1)=p·a(n)+(An+B)
- ⑬ 分数型（逆数をとる） a(n+1)=a(n)/(p·a(n)+q)
- ⑭ 積・累乗型（対数をとる） a(n+1)=q·a(n)^p
- ⑮ 隣接3項間 a(n+2)+p·a(n+1)+q·a(n)=0
- ⑯ 連立漸化式（和と差・消去）
- ⑰ 和S(n)と一般項の混在型
- ⑱ 一次分数変換型 a(n+1)=(p·a(n)+q)/(r·a(n)+s)
- ⑲ 三角関数置換型 a(n+1)=2a(n)²−1
- ⑳ 偶奇分け（(−1)ⁿ型・2つ飛び）
- ㉑ 周期・余り（mod）を書き出して見つける
- 漸化式の型別処理（等比型・特性方程式・分数型・連立）
- ㉔ 推測＋数学的帰納法（誘導のない漸化式）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。