⑲ 三角関数置換型 a(n+1)=2a(n)²−1

数学B ／ 漸化式 ／ 東大での重要度 ★★★★☆

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要点

2cos²θ − 1 = cos 2θ なので、a(n) = cos θ(n) と置けば a(n+1) = 2a(n)² − 1 は θ(n+1) = 2θ(n)、つまり θ(n) = 2ⁿ⁻¹·θ(1) になる。非線形の漸化式が、角度の世界では単なる等比数列。半角 a(n+1) = √((1 + a(n))/2) なら θ が 1/2 ずつ、3倍角 4a³ − 3a なら3倍ずつ。どの公式の形かを見抜くのが全て。

こんなときに使う

• 2a² − 1、4a³ − 3a、√((1 + a)/2)、2a/(1 − a²) などの形
• |a(1)| ≦ 1 が条件にある → cos か sin で置ける
• |a(1)| > 1 なら a = (t + 1/t)/2 と置く（双曲線版）
• 2a/(1 − a²) → tan の倍角

手順

1. 1. 漸化式がどの三角関数の公式（倍角・半角・3倍角・tan の倍角）と同じ形か見抜く
2. 2. a(1) = cos θ（0 ≦ θ ≦ π）と θ を1つに決める
3. 3. 帰納法で a(n) = cos(2ⁿ⁻¹θ) を示す（半角なら範囲の確認が必要）
4. 4. 具体的な値・周期性・極限を答える

例題

別解・ほかの見方

• 半角型：a(1) = 0、a(n+1) = √((1 + a(n))/2) なら a(n) = cos(π/2ⁿ)。極限は1、さらに 4ⁿ(1 − a(n)) の極限なども問える
• |a(1)| > 1：a(1) = (t + 1/t)/2 と置くと a(n) = (t^(2ⁿ⁻¹) + t^(−2ⁿ⁻¹))/2
• tan 型：a(n+1) = 2a(n)/(1 − a(n)²) なら a(n) = tan(2ⁿ⁻¹θ)

落とし穴

• |a(1)| > 1 なのに cos で置く
• θ の範囲を決めずに置き、半角で符号（√ の正負）を取り違える
• 『cos で置けば解ける』を証明せずに一般項を書く（帰納法で示す）
• |a(1)| ≦ 1 でないと cos で置けない／θ の範囲を決めない

なぜ大事か

倍角・半角公式と同じ形の漸化式は、cos θ と置くと角度が等比（2倍ずつ）になる

東大での出方

東大は三角関数と漸化式の融合を好む。極限や整数性（cos の値が有理数になる条件）と絡めて出る。

確認問題

• a(1) = 0、a(n+1) = √((1 + a(n))/2) の一般項を求めよ（答：cos(π/2ⁿ)）
• a(1) = cos(2π/7)、a(n+1) = 2a(n)² − 1 のとき a(4) = a(1) となることを示せ（16π/7 = 2π + 2π/7）

発展

2x² − 1 はチェビシェフ多項式 T₂、4x³ − 3x は T₃。T_m(T_n(x)) = T_mn(x) という性質が、この型の漸化式がきれいに解ける理由。

前提になるノード

• ⑩ 特性方程式型 a(n+1)=p·a(n)+q
• 加法定理

「漸化式」のノード

• ⑩ 特性方程式型 a(n+1)=p·a(n)+q
• ⑪ 指数型 a(n+1)=p·a(n)+rⁿ（rⁿ⁺¹で割る）
• ⑫ nの多項式型 a(n+1)=p·a(n)+(An+B)
• ⑬ 分数型（逆数をとる） a(n+1)=a(n)/(p·a(n)+q)
• ⑭ 積・累乗型（対数をとる） a(n+1)=q·a(n)^p
• ⑮ 隣接3項間 a(n+2)+p·a(n+1)+q·a(n)=0
• ⑯ 連立漸化式（和と差・消去）
• ⑰ 和S(n)と一般項の混在型
• ⑱ 一次分数変換型 a(n+1)=(p·a(n)+q)/(r·a(n)+s)
• ⑲ 三角関数置換型 a(n+1)=2a(n)²−1
• ⑳ 偶奇分け（(−1)ⁿ型・2つ飛び）
• ㉑ 周期・余り（mod）を書き出して見つける
• 漸化式の型別処理（等比型・特性方程式・分数型・連立）
• ㉔ 推測＋数学的帰納法（誘導のない漸化式）

解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。

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