加法定理
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要点
加法定理cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβは、単位円上の2点(cosα,sinα),(cosβ,sinβ)間の距離を、座標を使った計算と余弦定理による計算の2通りで表し比較することで導かれる。1999年の東大入試はこの証明そのものを出題した。倍角・半角・積和・合成のすべての公式がこの1つの式から派生するので、覚えるべきは加法定理だけでよい。
こんなときに使う
- 三角関数の値を求める問題で、特殊角の組み合わせ（15°=45°−30°など）が使えないか考える
- 公式を忘れたら単位円の距離の計算から復元する
手順
- 1. 求めたい角を既知の特殊角の和・差で表す
- 2. 加法定理を適用する
例題
sin75°の値を求めよ。
解答
- sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4
落とし穴
- cos(α−β)とcos(α+β)で符号を取り違える
- 導出できず暗記のみ
なぜ大事か
三角関数の全公式の親。証明も出題される（1999年東大）
東大での出方
三角関数の全公式の親。証明も出題される（1999年東大）。
確認問題
- cos15°の値を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「三角関数」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。