倍角・半角・3倍角
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要点
倍角公式は加法定理でβ=αと置くだけで得られる。sin2α=2sinαcosα、cos2α=cos²α−sin²α（=2cos²α−1=1−2sin²α）というすべての倍角公式は、加法定理という1つの式の特別な場合にすぎない。半角公式は、この cos2α=1−2sin²α を sin²αについて解き直しただけ。覚えるべきは加法定理ひとつでよい。
こんなときに使う
- 積分で次数を下げたいときは半角公式を使う
- 倍角公式を忘れたら加法定理からβ=αとして復元する
手順
- 1. 加法定理からβ=αとして倍角公式を導く（または直接使う）
- 2. 半角が必要なら倍角公式をsin²θ,cos²θについて解き直す
例題
cos²xをcos2xを用いて表せ。
解答
- cos2x=2cos²x−1 より cos²x=(1+cos2x)/2
別解・ほかの見方
- 3倍角公式も加法定理を2回適用すれば導ける
落とし穴
- 半角公式の符号（+か−か）を取り違える
なぜ大事か
次数下げの主要手段。積分で毎回使う
東大での出方
次数下げの主要手段。積分で毎回使う。
確認問題
- sin²xを半角公式で表せ
- cos3xを加法定理と倍角公式から導け
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「三角関数」のノード
- 加法定理
- 倍角・半角・3倍角
- 三角関数の合成
- 和積・積和公式
- 三角方程式・不等式（置換と範囲）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。