和積・積和公式
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要点
和積公式sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A−B)/2)は、X=(A+B)/2,Y=(A−B)/2と置いてA=X+Y,B=X−Yとし、sin(X+Y)とsin(X−Y)を加法定理で展開して足し合わせるだけで導ける。cosXsinYの項が打ち消し合って2sinXcosYだけが残る、という構造。積和公式も同様に導けるので、暗記の対象ではない。
こんなときに使う
- 和の形を積に変えたいとき、または積の形を和に変えたいときに使う
- 積分・和の計算で必要になったら、その場で加法定理から導いてもよい
手順
- 1. 和積：A=X+Y,B=X−Yと置き、sin(X±Y)を加法定理で展開して足し引きする
- 2. 積和：直接加法定理の和・差の形を組み合わせる
例題
sin75°+sin15°を積の形にせよ。
解答
- 2sin45°cos30°=2・(√2/2)(√3/2)=√6/2
落とし穴
- 公式を丸暗記して、A,Bの対応（どちらが和でどちらが差か）を間違える
なぜ大事か
積分・和の計算で必要。導出できれば暗記不要
東大での出方
積分・和の計算で必要。導出できれば暗記不要。
確認問題
- cos75°−cos15°を積の形にせよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「三角関数」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。