三角関数の合成
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要点
a sinθ+b cosθ=√(a²+b²)sin(θ+α)と合成できるのは、√(a²+b²)で括ると係数の2乗の和がちょうど1になり、その2数をcosα,sinαと置けるから。括った中身が加法定理の形と一致することが根拠。合成すると最大最小がsinの値域から即座に読める。
こんなときに使う
- a sinθ+b cosθの最大最小、または方程式を解く問題は合成を検討する
手順
- 1. √(a²+b²)で括る
- 2. 係数からαを決定する（cosα=a/√(a²+b²), sinα=b/√(a²+b²)）
- 3. sin(θ+α)の形にまとめる
例題
sinθ+√3cosθを合成せよ。
解答
- √(1+3)=2で括る。(1/2)sinθ+(√3/2)cosθ=sinθcos(π/3)+cosθsin(π/3)
- ∴ 2sin(θ+π/3)
別解・ほかの見方
- cosの形に合成することもできる
落とし穴
- αを求める際にcosαとsinαの対応を逆にする
なぜ大事か
最大最小の即答手段
東大での出方
最大最小の即答手段。方程式・不等式を解く前処理としても頻出。
確認問題
- cosθ−sinθを合成せよ
前提になるノード
「三角関数」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。