三角方程式・不等式（置換と範囲）
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要点
t=sinθと置換したとき、tの変域（−1≦t≦1）だけでなく、tの1つの値に対してθが何個対応するかという個数の管理が必要になる。sinθのグラフは1周期の中でも増減があるため、同じtの値を取るθが1個、2個、あるいはそれ以上存在しうる。置換は計算を楽にする代わりに、この対応関係を別途追う責任を生む。
こんなときに使う
- 三角方程式・不等式で置換したら、必ず新しい変数の変域とθとの対応個数を確認する
手順
- 1. t=sinθ（またはcosθ）と置換する
- 2. tの変域を確認する
- 3. tの方程式・不等式を解く
- 4. 得られたtの値・範囲に対応するθを、単位円やグラフで数え上げる
例題
0≦θ<2πでsinθ=1/2を解け。
解答
- 単位円でy=1/2となる点は第1象限と第2象限にそれぞれ1つ。
- θ=π/6, 5π/6
落とし穴
- tの1つの値に対応するθの個数を数え間違える
- t=sinθ と置いて -1≦t≦1 とθの対応個数を無視する
なぜ大事か
置換したときの新変数の変域を正しく取る訓練。解の個数問題に直結
東大での出方
解の個数問題に直結する。置換したときの新変数の変域を正しく取る訓練。
確認問題
- 0≦θ<2πでcos2θ=1/2を解け（倍角に注意）
前提になるノード
「三角関数」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。