三角関数の積分（次数下げ・積和・t=tan(x/2)）
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要点
sinの偶数乗は半角公式で次数を下げると原始関数が見える形になる。奇数乗はsinⁿx=sinⁿ⁻¹x・sinxと1つだけ分離し、sinⁿ⁻¹x（偶数乗）をcos²x=1−sin²xで書き換えれば、sinxdx=d(−cosx)を使ったt=cosxの置換にそのまま持ち込める。どちらも『置換できる形、またはそのまま積分できる形に持ち込む』という同じ目的を持つ。
こんなときに使う
- sin,cosの偶数乗は半角で次数を下げる
- 奇数乗は1つ分離して置換する
- 積の形は積和公式で分解する
手順
- 1. 次数の偶奇を確認する
- 2. 偶数乗は半角公式、奇数乗は分離と置換を使う
- 3. 積の形は積和公式で和に変える
例題
∫[0→π/2]sin²xdxを求めよ。
解答
- 半角：(1−cos2x)/2に直して積分。[x/2−sin2x/4]=π/4
落とし穴
- 奇数乗と偶数乗で処理を混同する
なぜ大事か
偶数乗は半角、奇数乗は1つ分離して置換、という判断の型
東大での出方
偶数乗は半角、奇数乗は1つ分離して置換、という判断の型が全て。
確認問題
- ∫[0→π/2]sin³xdxを求めよ
前提になるノード
「積分法」のノード
- 不定積分の基本形（微分の逆）
- 置換積分（型の判別）
- 部分積分（何を微分側に置くか）
- 有理関数の積分（部分分数分解）
- 三角関数の積分（次数下げ・積和・t=tan(x/2)）
- 無理関数の積分（√(a²-x²) 型の三角置換）
- 定積分の性質（偶奇・周期・区間の対称性）
- 定積分と漸化式（I_n を n で結ぶ）
- 積分で定義された関数の微分（微積分学の基本定理）
- 区分求積法
- 積分と不等式（面積比較・評価）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。