定積分の性質（偶奇・周期・区間の対称性）
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要点
偶関数・奇関数の性質は、∫[−a→0]をx=−tと置換すると∫[0→a]f(−t)dtになることから、f(−t)=f(t)（偶関数）なら2倍、f(−t)=−f(t)（奇関数）なら打ち消し合って0になる、と導かれる。∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]f(a+b−x)dxが成り立つのは、x=a+b−tと置換すると区間が反転し符号も反転して元に戻るから。この性質は計算量を大きく減らす。
こんなときに使う
- 原点対称の積分区間では被積分関数の偶奇を確認する
- 積分区間の中央に関する対称性が使えないか検討する
手順
- 1. 被積分関数が偶関数か奇関数か確認する
- 2. 奇関数なら0、偶関数なら2倍して半分の区間で計算する
- 3. 対称性が使えない場合はx→a+b−xの置換を試す
例題
∫[−1→1]x³/(1+x²)dxを求めよ。
解答
- 被積分関数は奇関数（x³奇、1+x²偶）なので0
落とし穴
- 偶奇の判定を誤る（分母・分子両方の偶奇を確認する必要がある）
なぜ大事か
計算量を激減させる。x→a-x の置換で解ける東大の問題が定期的に出る
東大での出方
計算量を激減させる。x→a−xの置換で解ける東大の問題が定期的に出る。
確認問題
- ∫[−π/2→π/2]x²cosxdxについて、被積分関数の偶奇を確認せよ
前提になるノード
「積分法」のノード
- 不定積分の基本形（微分の逆）
- 置換積分（型の判別）
- 部分積分（何を微分側に置くか）
- 有理関数の積分（部分分数分解）
- 三角関数の積分（次数下げ・積和・t=tan(x/2)）
- 無理関数の積分（√(a²-x²) 型の三角置換）
- 定積分の性質（偶奇・周期・区間の対称性）
- 定積分と漸化式（I_n を n で結ぶ）
- 積分で定義された関数の微分（微積分学の基本定理）
- 区分求積法
- 積分と不等式（面積比較・評価）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。