積分で定義された関数の微分（微積分学の基本定理）
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要点
d/dx∫[a→x]f(t)dt=f(x)は、F(x)=∫[a→x]f(t)dtとおくとF(x+h)−F(x)が幅hの積分になり、fが連続なら平均値の定理（積分版）よりf(c)・h（xとx+hの間のc）と書けるため、h→0でc→xとなりF′(x)=f(x)が導かれる。上端がg(x)のときは合成関数の微分によりg′(x)が掛かる。
こんなときに使う
- 上端が変数（またはxの関数）である積分の微分は、この定理をそのまま適用する
- 上端がg(x)のときはg′(x)を掛け忘れない
手順
- 1. F(x)=∫[a→x]f(t)dtの形を確認する
- 2. F′(x)=f(x)を適用する
- 3. 上端がg(x)ならF′(x)=f(g(x))・g′(x)
例題
F(x)=∫[0→x²]sintdtのときF′(x)を求めよ。
解答
- sin(x²)・2x
落とし穴
- 上端がg(x)のときにg′(x)を掛け忘れる
- 上端がg(x)のときにg'(x)を掛け忘れる
なぜ大事か
上端が関数のときの合成の扱い。定義に戻れることが要求される
東大での出方
上端が関数のときの合成の扱い。定義に戻れることが要求される。
確認問題
- G(x)=∫[1→x³]logt dtのときG′(x)を求めよ
前提になるノード
「積分法」のノード
- 不定積分の基本形（微分の逆）
- 置換積分（型の判別）
- 部分積分（何を微分側に置くか）
- 有理関数の積分（部分分数分解）
- 三角関数の積分（次数下げ・積和・t=tan(x/2)）
- 無理関数の積分（√(a²-x²) 型の三角置換）
- 定積分の性質（偶奇・周期・区間の対称性）
- 定積分と漸化式（I_n を n で結ぶ）
- 積分で定義された関数の微分（微積分学の基本定理）
- 区分求積法
- 積分と不等式（面積比較・評価）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。