有理関数の積分（部分分数分解）
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要点
部分分数分解1/{(x−a)(x−b)}=A/(x−a)+B/(x−b)は、両辺に(x−a)(x−b)を掛けて得られる恒等式1=A(x−b)+B(x−a)に、都合のよい値（x=a,x=b）を代入することで係数が直接求まる。これは恒等式が『すべてのxで成り立つ』性質を利用して、分母を0にする値をあえて選んでいる。分子の次数が分母以上なら、先に割り算して次数を下げる必要がある。
こんなときに使う
- 分数式の積分は部分分数分解できないか考える
- 分子の次数が分母以上なら先に割り算する
手順
- 1. 分子の次数が分母以上なら割り算する
- 2. 部分分数分解する（都合のよい値を代入して係数を求める）
- 3. 分解した各項を積分する
例題
∫dx/{x(x+1)}を求めよ。
解答
- 1/x−1/(x+1)に分解して積分：log|x/(x+1)|+C
落とし穴
- 分子の次数が高いのに先に割り算をせず分解を試みる
- 分子の次数が高いとき先に割り算をしない
なぜ大事か
分母の次数を下げる定型処理
東大での出方
分母の次数を下げる定型処理。
確認問題
- ∫dx/(x²−1)を求めよ
前提になるノード
「積分法」のノード
- 不定積分の基本形（微分の逆）
- 置換積分（型の判別）
- 部分積分（何を微分側に置くか）
- 有理関数の積分（部分分数分解）
- 三角関数の積分（次数下げ・積和・t=tan(x/2)）
- 無理関数の積分（√(a²-x²) 型の三角置換）
- 定積分の性質（偶奇・周期・区間の対称性）
- 定積分と漸化式（I_n を n で結ぶ）
- 積分で定義された関数の微分（微積分学の基本定理）
- 区分求積法
- 積分と不等式（面積比較・評価）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。