恒等式・係数比較
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要点
恒等式とは『すべてのxで成り立つ式』であり、この性質から2つの有効な手段が導かれる。1つは係数比較（両辺の同じ次数の項の係数が一致する）、もう1つは数値代入（どんな値を代入しても成り立つので、都合のよい値を選べる）。数値代入で求めた係数は必要条件にすぎないため、最後に恒等式として成り立つことを確認する一言が必要になる。
こんなときに使う
- 部分分数分解の係数を求める問題は恒等式の性質を使う
- 未定係数を求める問題は係数比較か数値代入を検討する
手順
- 1. 恒等式の形を設定する
- 2. 係数比較、または都合のよい値を代入して未知数を求める
- 3. 数値代入で求めた場合は、恒等式として成り立つか確認する
例題
1/{x(x+1)}=a/x+b/(x+1)が恒等式となるa,bを求めよ。
解答
- 両辺にx(x+1)を掛けると1=a(x+1)+bx
- x=0を代入：1=a → a=1
- x=−1を代入：1=−b → b=−1
別解・ほかの見方
- 係数比較で連立方程式を立てて解く方法もある
落とし穴
- 数値代入で得た値を、恒等式であることの確認なしに最終解答にする
なぜ大事か
部分分数分解、未定係数法の根拠
東大での出方
部分分数分解、未定係数法の根拠として頻出。
確認問題
- x²+ax+b=(x−1)(x−2)となるa,bを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「式と証明」のノード
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