不等式の証明（差をとる・平方完成・コーシー）
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要点
不等式証明に共通する核心は、常に0以上になる式（多くは平方の和）を作り出すこと。差を取って平方完成すればa²+b²≧2abが示せ、コーシー・シュワルツの不等式も(at−x)²+(bt−y)²≧0がすべてのtで成り立つことから判別式条件として導ける。この平方の形を作る発想があれば初見の不等式でも方針が立てられる。
こんなときに使う
- A≧Bを示す問題は、まずA−B≧0を示すことに翻訳する
- 2乗の和が出てくる不等式はコーシー・シュワルツを検討する
手順
- 1. 差を取ってA−Bの形にする
- 2. 平方完成できないか試す
- 3. 難しければコーシー・シュワルツなど既知の不等式に帰着できないか検討する
例題
a²+b²≧2abを示せ。
解答
- a²+b²−2ab=(a−b)²≧0
- ∴ a²+b²≧2ab（等号はa=bのとき）
別解・ほかの見方
- コーシー・シュワルツ：(a²+b²)(x²+y²)≧(ax+by)²も同様に(at−x)²+(bt−y)²≧0から導ける
落とし穴
- 等号成立条件を確認しない
なぜ大事か
微分に頼らず示す技術。数IIIの評価問題の前段
東大での出方
数IIIの評価問題の前段。不等式証明全般の基礎技術。
確認問題
- (a²+b²)(c²+d²)≧(ac+bd)²を示せ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「式と証明」のノード
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