はさみうちの原理
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要点
a_n≦b_n≦c_nで両端が同じ極限αに収束するとき、bₙもαに収束する。上からの評価だけでは不十分なのは、下方向への発散の可能性を排除できないから。0≦a_nという下からの評価を書いて初めて『挟まれている』ことが確定する。既存の不等式が使えない場面では、微分による不等式証明で自分で評価式を作る必要がある。
こんなときに使う
- 直接極限が求まらない数列・関数の極限ははさみうちを疑う
- 三角関数を含む極限（sinの有界性を利用）はさみうちの定番
手順
- 1. 求めたい量を挟む上下の式を作る
- 2. 両端の極限を計算する
- 3. 両端が同じ値に収束すれば、はさみうちの原理よりその値に収束すると結論する
例題
lim[n→∞](sin n)/nを求めよ。
解答
- −1/n≦(sin n)/n≦1/n、両端とも→0なので、はさみうちの原理より0
別解・ほかの見方
- 評価式が既存の不等式にない場合は、微分で不等式を作る
落とし穴
- 下からの評価を書かず、上からだけで結論を急ぐ
- 上下から挟む式を自分で作れない（不等式評価の在庫不足）
なぜ大事か
求まらない極限を評価で殺す。東大が最も好む発想の一つ
東大での出方
求まらない極限を評価で殺す。東大が最も好む発想の一つ。
確認問題
- lim[n→∞](−1)ⁿ/n²を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「極限」のノード
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