連続性・中間値の定理
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要点
中間値の定理は、連続関数のグラフが『切れ目なく繋がっている』ことの直接的な帰結。f(a)<0<f(b)ならグラフはx軸を必ず横切らなければならず、その横切る点がf(c)=0を満たすc。連続でなければこの定理は使えず、飛び越えてしまう可能性がある。だから『fが連続である』という一言を答案に書くことが、この定理を使う際の必須事項になる。
こんなときに使う
- 方程式の解の存在を示す問題は中間値の定理を第一候補にする
手順
- 1. 連続な関数f(x)を設定する
- 2. f(a)とf(b)が異符号になるa,bを見つける
- 3. 中間値の定理より、aとbの間に解が存在すると結論する
例題
x³−3x+1=0が0<x<1に解を持つことを示せ。
解答
- f(0)=1>0、f(1)=−1<0。fは連続なので中間値の定理より解が存在する。
落とし穴
- 連続性の確認を書かずに定理を適用する
- 存在を示すのに増減表だけで済ませて連続性に触れない
なぜ大事か
「解が存在する」ことの唯一の示し方。存在証明で必ず要る
東大での出方
『解が存在する』ことの唯一の示し方。存在証明で必ず要る。
確認問題
- x⁵−x−1=0が1<x<2に解を持つことを示せ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「極限」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。