数列の極限・収束発散の判定
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要点
rⁿの挙動は|r|<1なら0に収束し、r>1なら発散する。これはr=1+h（h>0）と書いて二項定理で展開するとrⁿ≧1+nh→∞となることから示せる。∞/∞型の極限で『最も強い項で割る』のは、比の形にすると各項が0か定数に収束して極限が確定するから。強さの順序は指数関数>累乗>対数関数。
こんなときに使う
- ∞/∞、∞−∞型の不定形は最も強い項で割る（またはくくる）
- rⁿを含む極限は|r|と1の大小で場合分けする
手順
- 1. 不定形の種類を確認する
- 2. 最も強い項でくくる、または約分する
- 3. 各項の極限を求めて結論する
例題
lim[n→∞](2ⁿ⁺¹+3ⁿ)/3ⁿを求めよ。
解答
- 2・(2/3)ⁿ+1と変形。(2/3)ⁿ→0なので極限は1
落とし穴
- rⁿの極限でrの範囲の場合分け（|r|<1, r=1, r>1, r≦−1）を落とす
- r^n の極限で r の範囲の場合分けを落とす
なぜ大事か
漸化式→一般項→極限、の最終工程
東大での出方
漸化式→一般項→極限、の最終工程。
確認問題
- lim[n→∞](3ⁿ−2ⁿ)/(3ⁿ+2ⁿ)を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「極限」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。