sinx/x → 1 とその証明
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要点
半径1、中心角θの扇形で、三角形OAB、扇形OAB、三角形OATの3つの面積を比較すると、sinθ<θ<tanθ（0<θ<π/2）という不等式が得られる。各辺をsinθで割ってはさみうちを適用すると、θ/sinθ→1、すなわちsinθ/θ→1が示される。この証明は弧度法（扇形の面積が(1/2)r²θになること）を前提にしており、度数法では成り立たない。
こんなときに使う
- 三角関数を含む0/0型の極限はsinx/x→1に帰着できないか考える
手順
- 1. 与えられた式をsin(f(x))/f(x)の形に変形する
- 2. f(x)→0のときこの部分が1に収束することを使う
例題
lim[x→0]sin3x/xを求めよ。
解答
- 3・(sin3x)/(3x)と変形。括弧の中は1に収束するので極限は3
落とし穴
- この極限をロピタルの定理で示そうとすると、(sinx)′=cosxの証明自体がこの極限に依存しているため循環論法になる
- 円弧の長さと面積の大小評価を再現できない
なぜ大事か
三角関数の微分の根拠。証明そのものが東大で出題された（1999年）
東大での出方
三角関数の微分の根拠。証明そのものが東大で出題された（1999年）。
確認問題
- lim[x→0]tan2x/xを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「極限」のノード
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