三角関数・指数関数・対数関数の微分
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要点
(sinx)′=cosxの証明は、定義に代入して和積公式で変形すると、sinθ/θ→1という極限がそのまま現れることに完全に依存している。(logx)′=1/xは、逆関数x=eʸを微分してdx/dy=eʸ=xとし、逆数を取ることで得られる。指数関数と対数関数の微分は同じ事実を裏表から見たもの。
こんなときに使う
- すべての基本関数（sin,cos,tan,eˣ,logx）を微分できる状態にしておく
手順
- 1. 基本公式を適用する（必要なら合成関数の微分と組み合わせる）
例題
y=e³ˣ・sinxを微分せよ。
解答
- 積の微分：3e³ˣ・sinx+e³ˣ・cosx=e³ˣ(3sinx+cosx)
落とし穴
- (tanx)′=1/cos²xを忘れる（商の微分から導けることを確認しておく）
なぜ大事か
全ての関数を微分できる状態にする
東大での出方
全ての関数を微分できる状態にする、数III計算の基盤。
確認問題
- y=log(sinx)を微分せよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分法」のノード
- 積・商の微分、合成関数の微分
- 三角関数・指数関数・対数関数の微分
- 逆関数・陰関数の微分
- 媒介変数表示された関数の微分
- 対数微分法
- 増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
- 最大最小（実用・図形量への応用）
- 方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
- 微分を用いた不等式の証明
- 平均値の定理
- 速度・加速度・近似式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。