平均値の定理
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要点
平均値の定理は、両端の値が等しければf′=0となる点があるというロルの定理を、直線的に傾けたもの。g(x)=f(x)−（fとaからbを結ぶ直線の差）とおくとg(a)=g(b)=0となり、ロルの定理よりg′(c)=0となるcが存在し、これを整理するとf(b)−f(a)=f′(c)(b−a)が得られる。『差』を『微分係数』に置き換えられる、極限と不等式の橋渡し役。
こんなときに使う
- 『差』を扱う不等式の証明で、微分係数に置き換えたいときに使う
手順
- 1. 平均値の定理を適用する区間[a,b]を決める
- 2. f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)となるcの存在を主張する
- 3. cの範囲（a<c<b）を使ってf′(c)を評価する
例題
0<a<bのとき(b−a)/b<logb−loga<(b−a)/aを示す方針を述べよ。
解答
- f(x)=logxに平均値の定理を適用：logb−loga=(b−a)/c（a<c<b）
- 1/b<1/c<1/aなので、(b−a)/b<(b−a)/c<(b−a)/aが従う
落とし穴
- cの存在範囲（区間の設定）を明示しない
- 適用区間の設定が雑（cの存在範囲を明示しない）
なぜ大事か
極限と不等式の橋渡し。使うべき場面の判別が難しい分、差がつく
東大での出方
使うべき場面の判別が難しい分、差がつく。極限と不等式の橋渡し。
確認問題
- 平均値の定理を使ってsinb−sina≦b−a（a<b）を示せ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分法」のノード
- 積・商の微分、合成関数の微分
- 三角関数・指数関数・対数関数の微分
- 逆関数・陰関数の微分
- 媒介変数表示された関数の微分
- 対数微分法
- 増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
- 最大最小（実用・図形量への応用）
- 方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
- 微分を用いた不等式の証明
- 平均値の定理
- 速度・加速度・近似式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。