媒介変数表示された関数の微分
アプリで開く →
進み具合を記録できるアプリ版です（ノード単位の直リンクはありません）
要点
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)が成り立つのは、Δy/ΔxがΔy/ΔtとΔx/Δtの比として書き直せて、Δt→0の極限でそれぞれdy/dt,dx/dtに収束するから。この式はdx/dt=0となる点（尖点）では使えない、という制約も、割り算の定義から直接従う。
こんなときに使う
- 媒介変数表示された曲線の接線・増減を調べる問題はこの公式を使う
- dx/dt=0となる点は別途扱う
手順
- 1. dy/dt, dx/dtをそれぞれ計算する
- 2. dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
例題
x=t²,y=t³のときdy/dxを求めよ（t≠0）。
解答
- (dy/dt)/(dx/dt)=3t²/2t=3t/2
落とし穴
- dx/dt=0の点でこの公式をそのまま適用しようとする
- dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) の分母0の点（尖点）を調べない
なぜ大事か
サイクロイド等の増減・接線・面積へ
東大での出方
サイクロイド等の増減・接線・面積へ発展する基礎。
確認問題
- x=cos t, y=sin2tのときdy/dxを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分法」のノード
- 積・商の微分、合成関数の微分
- 三角関数・指数関数・対数関数の微分
- 逆関数・陰関数の微分
- 媒介変数表示された関数の微分
- 対数微分法
- 増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
- 最大最小（実用・図形量への応用）
- 方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
- 微分を用いた不等式の証明
- 平均値の定理
- 速度・加速度・近似式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。