逆関数・陰関数の微分
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要点
逆関数の微分dy/dx=1/(dx/dy)は、Δy/ΔxとΔx/Δyが互いに逆数であることから、極限を取っても関係が保たれることによる。陰関数の微分では、yがxの関数であることを忘れずに、y²のような項を微分するときは合成関数の微分（2y・dy/dx）を適用する必要がある。yを定数のように扱ってしまうのが最も多い誤り。
こんなときに使う
- x,yが陽に分離できない式（x²+y²=1など）はxで微分してdy/dxについて解く
手順
- 1. 両辺をxで微分する（yはxの関数として合成関数の微分を適用）
- 2. dy/dxについて解く
例題
x²+y²=1のときdy/dxを求めよ（y≠0）。
解答
- 2x+2y・(dy/dx)=0 より dy/dx=−x/y
落とし穴
- yを定数として扱い、y²の微分でdy/dxを掛け忘れる
なぜ大事か
逆関数のグラフの対称性は面積計算の裏技にもなる
東大での出方
逆関数のグラフの対称性は面積計算の裏技にもなる。
確認問題
- x³+y³=6xyのときdy/dxを求めよ（陰関数）
前提になるノード
「微分法」のノード
- 積・商の微分、合成関数の微分
- 三角関数・指数関数・対数関数の微分
- 逆関数・陰関数の微分
- 媒介変数表示された関数の微分
- 対数微分法
- 増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
- 最大最小（実用・図形量への応用）
- 方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
- 微分を用いた不等式の証明
- 平均値の定理
- 速度・加速度・近似式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。