速度・加速度・近似式
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要点
1次近似f(a+h)≒f(a)+f′(a)hは、微分の定義{f(a+h)−f(a)}/h≒f′(a)を単に移項しただけ。この式は『接線でグラフを近似している』ことの数式的な表現になっている。速度・加速度も位置の1階・2階微分として、同じ微分の定義から出発する。
こんなときに使う
- 近似値を求める問題は1次近似の式を使う
- 速度・加速度は位置の微分・2階微分として計算する
手順
- 1. 速度v=dx/dt、加速度a=dv/dt
- 2. 近似式：f(a+h)≒f(a)+f′(a)h
例題
x=t³のときt=2での速度を求めよ。
解答
- v=3t²=3・4=12
落とし穴
- 近似式を丸暗記して、微分の定義との関係を見失う
なぜ大事か
物理と共通。出題頻度は低め
東大での出方
物理と共通。出題頻度は低め。
確認問題
- √(4.01)を1次近似で求めよ
前提になるノード
「微分法」のノード
- 積・商の微分、合成関数の微分
- 三角関数・指数関数・対数関数の微分
- 逆関数・陰関数の微分
- 媒介変数表示された関数の微分
- 対数微分法
- 増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
- 最大最小（実用・図形量への応用）
- 方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
- 微分を用いた不等式の証明
- 平均値の定理
- 速度・加速度・近似式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。