積・商の微分、合成関数の微分
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要点
積の微分(fg)′=f′g+fg′は、f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)にf(x+h)g(x)を足して引き、fの変化分とgの変化分を分離することで導かれる。合成関数の微分{f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)は、Δy/ΔxをΔy/Δu・Δu/Δxと分解し、h→0の極限を取ることで得られる、変化率の連鎖という発想。内側の微分を掛け忘れるのが最も多い誤り。
こんなときに使う
- 累乗・合成された関数の微分は必ず内側の微分を掛ける
- 積・商が混ざった複雑な式は積の微分・商の微分の公式を段階的に適用する
手順
- 1. 合成関数はf′(内側)×(内側の微分)
- 2. 積はf′g+fg′、商は(f′g−fg′)/g²
例題
y=(2x+1)⁵を微分せよ。
解答
- 外側5(2x+1)⁴に内側の微分2を掛けて、10(2x+1)⁴
落とし穴
- 内側の微分を掛け忘れる（置換積分で同じミスが再発する）
- 合成の内側の微分を掛け忘れる（積分の置換でも同じミスが再発）
なぜ大事か
数IIIの全計算の土台。ここの速度と正確さが試験時間を決める
東大での出方
数IIIの全計算の土台。ここの速度と正確さが試験時間を決める。
確認問題
- y=(x²+1)³を微分せよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分法」のノード
- 積・商の微分、合成関数の微分
- 三角関数・指数関数・対数関数の微分
- 逆関数・陰関数の微分
- 媒介変数表示された関数の微分
- 対数微分法
- 増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
- 最大最小（実用・図形量への応用）
- 方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
- 微分を用いた不等式の証明
- 平均値の定理
- 速度・加速度・近似式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。