微分係数の定義・導関数
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要点
微分係数f′(a)は、点(a,f(a))と(a+h,f(a+h))を結ぶ直線の傾き{f(a+h)−f(a)}/hのh→0の極限として定義される。2点が限りなく近づくとその直線は接線に近づくため、微分係数は接線の傾きになる。この定義に戻れるかどうかが、微分可能性の議論（微分可能なら連続だが逆は成り立たない、など）の理解を支える。
こんなときに使う
- 公式のみで微分できない場合や、微分可能性を問う問題は定義に戻る
- y=|x|のような場合分けを含む関数の微分可能性は定義で調べる
手順
- 1. f′(a)=lim[h→0]{f(a+h)−f(a)}/h に代入する
- 2. 極限を計算する
例題
定義に従ってf(x)=x²のf′(a)を求めよ。
解答
- lim[h→0]{(a+h)²−a²}/h=lim[h→0](2ah+h²)/h=lim[h→0](2a+h)=2a
落とし穴
- 公式のみで計算し、定義に戻る訓練を怠るため微分可能性の議論で詰まる
- 公式のみで定義式を書けない
なぜ大事か
定義に戻れるかが数IIIの極限・微分可能性の分かれ目
東大での出方
定義に戻れるかが数IIIの極限・微分可能性の分かれ目。
確認問題
- 定義に従ってf(x)=1/xのf′(a)を求めよ（a≠0）
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分積分」のノード
- 微分係数の定義・導関数
- 接線・法線
- 増減表・極値（3次関数）
- 3次方程式の実数解の個数（定数分離）
- 多項式の定積分・面積
- 1/6公式・1/12公式と面積の等分
- 絶対値付き積分・区間の分割
- 定積分で表された関数・パラメータ入り積分の最小化
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。