定積分で表された関数・パラメータ入り積分の最小化
アプリで開く →
進み具合を記録できるアプリ版です（ノード単位の直リンクはありません）
要点
パラメータaを含む定積分f(a)=∫(x−a)²dxを最小化する際、先に積分を実行してからaで扱う理由は、積分するとxという変数は消え、結果がaだけの関数になるから。この段階まで進めば通常の1変数関数の最大最小問題に帰着でき、微分や平方完成という既知の道具がそのまま使える。積分変数とパラメータの役割を混同しないことが鍵。
こんなときに使う
- パラメータを含む定積分の最小化は、先に積分を実行してaの関数にする
手順
- 1. xについて積分を実行する（aは定数として扱う）
- 2. 結果として得られたaの関数を最大最小する（微分または平方完成）
例題
f(a)=∫[0→1](x−a)²dxを最小にするaを求めよ。
解答
- 展開して積分：f(a)=∫(x²−2ax+a²)dx=1/3−a+a²
- 平方完成：f(a)=(a−1/2)²+1/3−1/4=(a−1/2)²+1/12
- ∴ a=1/2で最小
落とし穴
- 積分変数xとパラメータaを混同し、先にaで微分しようとして手が止まる
- 積分変数と定数の区別が崩れる
なぜ大事か
積分してから微分する二段構え。東大がよく使う構造
東大での出方
『積分してから微分する』という2段構えは東大が好む構造。
確認問題
- g(a)=∫[0→2](x−a)²dxを最小にするaを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分積分」のノード
- 微分係数の定義・導関数
- 接線・法線
- 増減表・極値（3次関数）
- 3次方程式の実数解の個数（定数分離）
- 多項式の定積分・面積
- 1/6公式・1/12公式と面積の等分
- 絶対値付き積分・区間の分割
- 定積分で表された関数・パラメータ入り積分の最小化
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。