増減表・極値（3次関数）
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要点
f′(a)=0は極値をとるための必要条件にすぎず、十分条件ではない。y=x³のx=0はf′(0)=0だが極値ではない、という反例がこれを示している。極値をとるかどうかは、その点の前後でf′の符号が変わるかどうかで確認する必要があり、これが増減表を書く理由そのもの。
こんなときに使う
- 3次関数の極値を求める問題はf′=0を解いてから必ず符号変化を確認する
手順
- 1. f′(x)=0を解く
- 2. 増減表を作り、その前後でf′の符号が変わるか確認する
- 3. 符号が変わる点が極値
例題
y=x³−3x²の極小値を求めよ。
解答
- y′=3x²−6x=3x(x−2)=0よりx=0,2
- 増減表よりx=2で極小、f(2)=8−12=−4
落とし穴
- f′=0の解をそのまま極値と決めつけ、符号変化の確認を省略する
なぜ大事か
グラフを描いて考える習慣の起点
東大での出方
グラフを描いて考える習慣の起点。
確認問題
- y=x³−3xの極大値・極小値を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分積分」のノード
- 微分係数の定義・導関数
- 接線・法線
- 増減表・極値（3次関数）
- 3次方程式の実数解の個数（定数分離）
- 多項式の定積分・面積
- 1/6公式・1/12公式と面積の等分
- 絶対値付き積分・区間の分割
- 定積分で表された関数・パラメータ入り積分の最小化
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。