3次方程式の実数解の個数（定数分離）
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要点
方程式f(x)=aの解の個数を求める問題は、y=f(x)のグラフとy=aという水平線の交点の個数を数える問題に翻訳できる。これは『f(x)=aの解』という代数的な主張を、『2つのグラフの交点』という幾何的な主張に読み替えているだけ。3次以上では解の公式が使えないため、この読み替えが唯一の実用的な解法になる。
こんなときに使う
- 高次方程式の実数解の個数を求める問題は、まず定数分離（a=f(x)の形）ができないか試す
手順
- 1. 方程式をa=f(x)の形に分離する
- 2. f(x)の増減表・グラフを描く
- 3. y=aとの交点の個数をaの値によって数える
例題
x³−3x=kが異なる3つの実数解を持つkの範囲を求めよ。
解答
- f(x)=x³−3xとするとf′(x)=3x²−3=0よりx=±1。
- f(−1)=2（極大）、f(1)=−2（極小）。
- 水平線y=kが3回交わるのは極大値と極小値の間、すなわち−2<k<2
別解・ほかの見方
- 分離できない場合は差f(x)−aの符号変化を調べる
落とし穴
- 極大・極小の値を取り違える
- 端点や無限遠での挙動を確認しない
- 分離できない形で無理に分離する／端点・漸近の挙動を調べない
なぜ大事か
a=f(x) と分離して水平線との交点で数える。数IIIまで一貫して使う最重要技法
東大での出方
数IIIまで一貫して使う最重要技法の原型。
確認問題
- x³−3x²=kが異なる3つの実数解を持つkの範囲を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分積分」のノード
- 微分係数の定義・導関数
- 接線・法線
- 増減表・極値（3次関数）
- 3次方程式の実数解の個数（定数分離）
- 多項式の定積分・面積
- 1/6公式・1/12公式と面積の等分
- 絶対値付き積分・区間の分割
- 定積分で表された関数・パラメータ入り積分の最小化
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。