文字定数入りの最大最小（逆に見る）
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要点
文字定数aを含む式で行き詰まったら、xについて考えるのをやめてaについて整理してみる、という視点の切り替えが有効なことが多い。多くの場合、aについては1次式になり、符号や範囲の判定が一気に単純になる。この『変数と定数を入れ替えて眺める』発想は、東大が繰り返し使う頻出のテーマで、通過領域や存在条件の議論の原型になっている。
こんなときに使う
- 文字定数を含む不等式・方程式で、xについての処理が煩雑なときはaについて整理してみる
- 『すべてのxで成り立つ』は最小値の議論、『あるxで成り立つ』は最大値の議論に翻訳する
手順
- 1. 式をaについて整理し、1次式（またはそれに近い形）にする
- 2. aの係数の符号で場合分けする、または不等式の向きを確認する
- 3. 元の問題（∀か∃か）に応じて最小値・最大値の条件に戻す
例題
すべての実数xについてx²+ax+1>0が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。
解答
- この2次関数が常に正であるためには、下に凸で、判別式D<0であればよい。
- D=a²−4<0 より −2<a<2。
- 検算：a=0のときx²+1>0は常に成り立つ ○。a=2のとき(x+1)²≧0で等号が成立するxがあり不適 ○
別解・ほかの見方
- aについて整理して1次不等式に帰着させる方法：ax>−x²−1として、xの符号で場合分けする方法もあるが、この問題では判別式のほうが速い
落とし穴
- 『すべてのx』と『あるx』を混同し、最小値と最大値を取り違える
- aについて整理する際に、係数の符号で場合分けするのを忘れる
- 誰を主役の変数と見るかを固定できない
なぜ大事か
「変数と定数を入れ替えて眺める」東大頻出の視点の原型
東大での出方
通過領域・存在条件の議論の原型。東大では2変数の問題でどちらを主役にするかの判断力として頻出。
確認問題
- ある実数xに対してx²+ax+1<0が成り立つようなaの範囲を求めよ（∃の場合と∀の場合の違いを確認する）
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「2次関数」のノード
- 平方完成
- 2次関数の最大最小（区間・軸の場合分け）
- 文字定数入りの最大最小（逆に見る）
- 判別式と解の存在
- 解の配置問題
- 2次不等式と符号
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。