判別式と解の存在
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要点
判別式D=b²−4acは、解の公式x=(−b±√D)/2aの根号の中身に名前をつけたものにすぎない。D>0なら異なる2つの実数解、D=0なら重解、D<0なら実数解なし、という対応は解の公式から直接読み取れる。この理解があれば、判別式は暗記すべき独立した公式ではなく、いつでも解の公式から復元できる道具になる。
こんなときに使う
- 『実数解を持つ』という条件は判別式≧0に翻訳する
- 軌跡の問題で消去した文字が実数として存在する条件を求めるときは判別式を使う
手順
- 1. 2次方程式をax²+bx+c=0の形に整理する
- 2. D=b²−4acを計算する
- 3. 求める条件（実数解を持つ、異なる2つの実数解を持つ、実数解を持たない）に応じてDの符号条件を立てる
例題
x²+2x+k=0が実数解を持つようなkの範囲を求めよ。
解答
- D/4=1−k≧0（実数解は重解も含むので等号あり）
- ∴ k≦1
- 検算：k=1のときx²+2x+1=(x+1)²=0で重解x=−1を持つ ○
別解・ほかの見方
- D/4を使う簡略版（bが偶数のとき）も便利：D/4=(b/2)²−ac
落とし穴
- 『異なる2つの実数解』と『実数解を持つ（重解を含む）』で等号の有無を間違える
- D<0のときに『解がない』と書いてしまう（正しくは実数解がない、複素数解は持つ）
- 実数解条件を課し忘れる（軌跡・領域で致命傷）
なぜ大事か
実数条件を式に翻訳する基本手段
東大での出方
軌跡・領域・通過領域のほぼすべての問題で、実数条件を式に翻訳する手段として使われる基礎技術。
確認問題
- x²−4x+k=0が異なる2つの実数解を持つkの範囲を求めよ
- x²+kx+k+3=0が実数解を持たないkの範囲を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「2次関数」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。