平方完成
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要点
平方完成は、xの入った部分を(x+p)²という『常に0以上』の形に閉じ込め、残りを定数として切り離す操作。この『0以上の部分』と『定数部分』の分離こそが、最大最小・軌跡・判別式などあらゆる2次関数の議論の出発点になる。頂点の座標が式から直接読めるのは、この分離のおかげ。
こんなときに使う
- 2次関数の最大最小、頂点を求める問題は必ず平方完成から入る
- 2次式を含む軌跡・領域の問題も、平方完成すると見通しが立つことが多い
手順
- 1. x²の係数aで、x²とxの項をくくり出す
- 2. カッコの中を(x+b/2a)²−(b/2a)²の形に直す
- 3. 全体を展開し直して a(x+b/2a)²+（定数）の形にする
例題
y=2x²−8x+5 を平方完成せよ。
解答
- y=2(x²−4x)+5
- x²−4x=(x−2)²−4 なので
- y=2{(x−2)²−4}+5=2(x−2)²−8+5=2(x−2)²−3
- ∴ 頂点は(2,−3)。検算：x=2を代入すると y=2·0−3=−3 で一致。
別解・ほかの見方
- 頂点の公式（−b/2a, −(b²−4ac)/4a）を直接使う方法もあるが、平方完成の過程を理解していないと丸暗記になり応用が効かない
落とし穴
- aでくくるときに符号を間違える（特にaが負のとき）
- (b/2a)²の引き算を忘れる
なぜ大事か
最大最小・軌跡・2次形式の全ての入口
東大での出方
単独出題はまれだが、最大最小・軌跡・判別式などすべての土台として毎年間接的に使われる。
確認問題
- y=−3x²+6x+1 を平方完成し頂点を求めよ
- y=x²+5x を平方完成せよ
発展
2変数の2次式（x²+y²+ax+by+cなど）の平方完成。円の方程式を標準形に直す操作に直結する。
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「2次関数」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。