2次関数の最大最小（区間・軸の場合分け）
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要点
下に凸の放物線では軸から遠いほど値が大きくなる、という性質を理解していれば、区間での最大最小の場合分けはすべて『軸が区間のどこにあるか』という1点に帰着する。最小値は軸が区間内にあるかどうかで場合分けし、最大値は軸から遠いほうの端点を探すので場合分けの境目が異なる、という非対称性を理解しておくことが場合分けの精度を上げる。
こんなときに使う
- 区間付きの2次関数の最大最小は、まず頂点（軸）の位置を確認する
- 最小値と最大値で場合分けの基準が違うことを意識する
手順
- 1. 平方完成して頂点の座標（軸の位置）を求める
- 2. 軸が区間の左・内側・右のどこにあるかで場合分けする（最小値の場合）
- 3. 最大値は区間の中点と軸の位置関係で場合分けする
例題
0≦x≦3におけるy=x²−4x+1の最小値を求めよ。
解答
- 平方完成：y=(x−2)²−3。軸はx=2。
- 区間0≦x≦3の中に軸x=2が含まれている。
- ∴ 最小値はx=2のときのy=−3。
- 検算：x=0でy=1、x=3でy=−2、x=2でy=−3が最小 ○
別解・ほかの見方
- 軸が区間外の場合は、区間内で軸に近いほうの端点が最小値を与える
落とし穴
- 軸が区間内かどうかを確認せず頂点の値をそのまま最小値とする
- 最大値の場合分けの基準（区間の中点）を最小値と同じにしてしまう
- 軸と区間の位置関係を3通りに割る境界の扱い
なぜ大事か
「場合分けを漏れなく書く」訓練の最初の場。東大の答案はこの延長線上にある
東大での出方
単独出題は少ないが、図形量の最大最小、確率の最大化などの土台として頻出。
確認問題
- −1≦x≦2におけるy=x²−2xの最大値と最小値を求めよ
- 0≦x≦aにおけるy=x²−2xの最小値をaの関数として求めよ（aが動く場合の場合分け）
発展
軸自体が文字定数を含む場合（次の項目m2f-param-minmaxに接続）。
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「2次関数」のノード
- 平方完成
- 2次関数の最大最小（区間・軸の場合分け）
- 文字定数入りの最大最小（逆に見る）
- 判別式と解の存在
- 解の配置問題
- 2次不等式と符号
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。