場合分けを漏らさない・同値性を保つ記述

東大レイヤー／メタ技能／東大での重要度 ★★★★★

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要点

東大の採点は論理の飛躍に厳しく、答えが合っていても過程で落ちる。押さえるべきは2点しかない。場合分けが排反かつ網羅的であること、そして式変形が同値であることである。特に危ないのが、両辺を2乗する・両辺に文字を掛ける・分母を払うといった操作で、これらは同値ではない。必要条件だけで進んだのなら、最後に必ず十分性を確認する。この確認を書くかどうかが、そのまま点差になる。

こんなときに使う

絶対値・平方根・対数が出てきた → 場合分けか条件（真数条件など）
両辺を2乗した → 同値でない。符号の確認が必要
両辺に文字を掛けた／割った → その文字が 0 の場合を分ける
分母を払った → 分母 ≠ 0 を条件として残す
『⇒』の向きにだけ進んだ → 逆が言えるか確認する
図形で点の位置によって形が変わる → その境目で場合分け

手順

1. 場合分けの基準を明示する（『x < 0 のとき』のように見出しを立てる）
2. 排反か（重複していないか）を確認する
3. 網羅的か（漏れがないか）を確認する。境界値をどちらに入れたかも明示
4. 同値でない変形をしたら、その場に印をつけておく
5. 最後に十分性を確認する（求めた解を元の式に戻す）
6. 各場合の結論を統合して、最終的な答えを書く

例題

方程式 √(x + 2) = x を解け。

解答

【よくある答案】
両辺を2乗して x + 2 = x²
x² − x − 2 = 0、(x − 2)(x + 1) = 0
よって x = 2, −1　　← ここで終えると誤り
【なぜ誤りか】
「A = B」から「A² = B²」は言えるが、逆は言えない（A = −B でも A² = B² になる）。
つまり2乗は同値変形ではなく、必要条件しか得られていない。
実際 x = −1 を元の式に代入すると √1 = 1 だが右辺は −1 で、成り立たない。
【正しい書き方その1：十分性を確認する】
2乗して得た候補 x = 2, −1 を元の式に代入して確かめる。
　x = 2 のとき √4 = 2 ○
　x = −1 のとき √1 = 1 ≠ −1 ✕
∴ x = 2
【正しい書き方その2：最初から同値変形にする】
√(x+2) = x ⇔ x ≧ 0 かつ x + 2 = x²　（左辺は 0 以上なので右辺も 0 以上が必要）
　　　　　　⇔ x ≧ 0 かつ (x − 2)(x + 1) = 0
　　　　　　⇔ x = 2
この書き方なら十分性の確認が要らない。東大の答案としてはこちらが望ましい。
（真数条件 x + 2 ≧ 0 は x = x² − 2 ≧ 0 から自動的に従う）

別解・ほかの見方

同値記号（⇔）で繋いで書く（最も安全。ただし本当に同値か毎回確認すること）
必要条件で候補を絞り、最後に十分性を確認する（計算は軽いが確認を忘れやすい）
場合分けを表にまとめる（3つ以上の条件が絡むとき）
『少なくとも』『すべての』が出たら、∀ と ∃ を明示的に書き分ける

落とし穴

2乗したあと十分性を確認しない（最頻出）
場合分けの境界値をどちらに入れたか書かない
『x ≠ 0 のとき』で割ったのに、x = 0 の場合を扱わない
必要条件で出した答えを、そのまま最終解答にする
場合分けの見出しを立てず、地の文に混ぜて書く（採点者が追えない）
必要条件だけ出して十分性の確認を書かない

なぜ大事か

東大の採点は論理の飛躍に厳しい。合っている答えでも過程で落ちる

東大での出方

東大は同値性の意識を直接測ってくる。特に軌跡・領域・方程式の解の議論では、必要条件だけで進むと必ず余分な解が混じる設計になっている。答えが合っているのに点が来ないという経験の大半は、ここが原因。

確認問題

√(2x + 3) = x を解け（十分性の確認まで書くこと）
|x − 1| + |x − 3| = 4 を解け（場合分けの網羅性を意識すること）
方程式 x + 1/x = a が実数解を持つ a の条件を、同値変形で求めよ

発展

同値でない変形を意図的に使い、あとで十分性を確認するほうが速い場面もある。どちらが速いかを判断できるようになると、時間の使い方が変わる。

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