複素数の計算・解と係数の関係
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要点
解と係数の関係α+β=−b/a, αβ=c/aは、ax²+bx+c=a(x−α)(x−β)という因数分解の形を展開し、元の係数と比較するだけで導ける。実数係数の方程式で虚数解が必ず共役の組で現れるのは、係数が実数のため解の公式の√の中の符号だけが解を分けている構造から。
こんなときに使う
- 解を求めずに対称式の値を聞かれたら解と係数の関係を使う
- 実数係数で1つの虚数解が分かれば、共役も解であることを利用する
手順
- 1. ax²+bx+c=0の解と係数の関係を立てる：α+β=−b/a, αβ=c/a
- 2. 求めたい対称式をα+β,αβで表す
例題
x²−2x+5=0の2解の和と積を求めよ。
解答
- 和=−(−2)/1=2、積=5/1=5
落とし穴
- 符号（−b/a）を書き忘れて+b/aとする
なぜ大事か
対称式との合流点
東大での出方
対称式との合流点。複素数の計算全般の基礎。
確認問題
- x²+3x−2=0の2解をα,βとするときα²+β²を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「複素数と方程式」のノード
- 整式の除法・剰余定理・因数定理
- 複素数の計算・解と係数の関係
- 高次方程式・虚数解の扱い
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。