複素数の極形式・ド・モアブルの定理
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要点
複素数の掛け算は、絶対値が積、偏角が和になるという性質を持つ。これは極形式z=r(cosθ+isinθ)の積を加法定理で展開すれば確認できる。ド・モアブルの定理zⁿ=rⁿ(cos nθ+i sin nθ)は、この性質をn回繰り返し適用したものであり、帰納法で証明できる。累乗と回転を同一視するこの性質が、n乗根の議論の基盤になる。
こんなときに使う
- 複素数のn乗を計算する問題は極形式に直してド・モアブルの定理を使う
手順
- 1. 複素数を極形式r(cosθ+isinθ)に直す
- 2. n乗する場合は絶対値をn乗、偏角をn倍する
例題
(1+i)⁸を求めよ。
解答
- 1+i=√2(cos45°+isin45°)
- 8乗すると絶対値16、偏角360°で、16(cos360°+isin360°)=16
落とし穴
- 偏角の一般角（+2kπ）を落として、n乗根の個数を数え損なう
- 偏角の一般角（+2kπ）を落として解を数え損なう
なぜ大事か
累乗と回転を同一視する。n乗根の問題の基盤
東大での出方
累乗と回転を同一視する。n乗根の問題の基盤。
確認問題
- (√3+i)⁶を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「複素数平面」のノード
- 複素数の極形式・ド・モアブルの定理
- 回転と拡大（掛け算の幾何的意味）
- 複素数平面上の軌跡・図形条件（垂直二等分線・アポロニウス）
- 1のn乗根と正多角形・和の計算
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。