複素数平面上の軌跡・図形条件（垂直二等分線・アポロニウス）
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要点
複素数平面では|z−α|が『点zと点αの距離』を直接表すため、距離の条件をそのまま式にできる。|z−α|=|z−β|は2点から等距離、つまり垂直二等分線。|z−α|=k|z−β|（k≠1）はアポロニウスの円になる。軌跡を求めるときは、実部虚部に分解するよりzのまま処理するほうが、これらの幾何的な意味を保ったまま計算できる。
こんなときに使う
- 複素数平面の軌跡は、まず条件式が距離・角度のどちらを表しているか読み取る
- w=f(z)の軌跡はzについて解き直し、既知の条件に代入する
手順
- 1. 条件式を絶対値や偏角の形に整理する
- 2. |z−α|=r型は円、|z−α|=|z−β|型は垂直二等分線、と対応づける
- 3. wの軌跡ならzで解き直して代入する
例題
|z−1|=|z+1|を満たすzの軌跡を求めよ。
解答
- 2点1,−1から等距離にある点の集合なので、垂直二等分線（虚軸）
別解・ほかの見方
- 実部虚部に分解して計算することもできるが、式が膨張しやすい
落とし穴
- 実部虚部に分解して計算量を増やしてしまう
- 除外点・十分性の確認を忘れる
- z の共役を z̄ と置いて連立する処理に慣れていない
なぜ大事か
|z-a|=|z-b| 型、arg条件、共役を使った実数条件。東大の複素数はここに集中
東大での出方
東大の複素数平面はここに集中する。z=x+yiと共役を使った連立処理も併用する。
確認問題
- |z−2|=2|z+1|を満たすzの軌跡を求めよ（アポロニウスの円）
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「複素数平面」のノード
- 複素数の極形式・ド・モアブルの定理
- 回転と拡大（掛け算の幾何的意味）
- 複素数平面上の軌跡・図形条件（垂直二等分線・アポロニウス）
- 1のn乗根と正多角形・和の計算
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