回転と拡大（掛け算の幾何的意味）
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要点
絶対値1の複素数を掛けると、大きさは変わらず偏角だけが増える、という性質そのものが回転の正体。点αを中心にθ回転する式α+(z−α)(cosθ+isinθ)は、中心を原点に移して（z−α）回転させてから元の位置に戻す（+α）という3手順の組み合わせ。この分解の理解があれば、回転の中心が原点でない場合でも迷わない。
こんなときに使う
- 図形問題で回転が関係する条件（正三角形、正方形の頂点など）は複素数の掛け算で処理する
- 回転の中心が原点でないときは平行移動してから回転させる
手順
- 1. 回転の中心を原点に移す（z−αを考える）
- 2. cosθ+isinθを掛けて回転させる
- 3. 中心を元に戻す（+αする）
例題
点1+iを、点2を中心に90°回転させた点を求めよ。
解答
- 2+(1+i−2)i=2+(−1+i)i=2−i−1=1−i
落とし穴
- 中心を原点に移す操作（−α）を省略していきなり掛け算する
- 回転の中心を原点に平行移動してから戻す手順を飛ばす
なぜ大事か
「点Aを中心にθ回転」を1行で書ける。東大の図形問題を最短で処理する道具
東大での出方
『点Aを中心にθ回転』を1行で書ける。東大の図形問題を最短で処理する道具。
確認問題
- 点3+2iを原点を中心に60°回転させた点を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「複素数平面」のノード
- 複素数の極形式・ド・モアブルの定理
- 回転と拡大（掛け算の幾何的意味）
- 複素数平面上の軌跡・図形条件（垂直二等分線・アポロニウス）
- 1のn乗根と正多角形・和の計算
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。