斜回転体・回転軸が座標軸でない体積
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要点
体積は座標系の取り方によらない不変な量なので、計算しやすい座標系（回転軸がx軸に一致するように回した座標系）に取り替えても、求まる体積の値は変わらない。角θの回転で点(x,y)は(xcosθ+ysinθ,−xsinθ+ycosθ)に写るという座標変換を行い、通常の回転体の公式に帰着させる。
こんなときに使う
- 回転軸が座標軸でないときは、座標系を回転させて軸に合わせることをまず考える
手順
- 1. 回転軸の傾きを求める
- 2. その傾きだけ座標系を回転させる新しい座標を導入する
- 3. 新しい座標系で通常の回転体として体積を計算する
例題
回転軸がy=xのとき、まず何をすべきか。
解答
- 座標系を−45°回転させ、軸をx軸に一致させてから通常の回転体として扱う
落とし穴
- 座標変換の符号（回転の向き）を間違える
なぜ大事か
座標変換（回転）してから通常の回転体に帰着する。最難問クラス
東大での出方
座標変換してから通常の回転体に帰着させる。最難問クラス。
確認問題
- 回転軸がy=−xのときの座標変換の式を書け
前提になるノード
「積分の応用」のノード
- 面積（上下・左右・媒介変数・逆関数）
- 回転体の体積（x軸・y軸まわり）
- 非回転体の体積（断面積を積分する）
- 斜回転体・回転軸が座標軸でない体積
- 曲線の長さ・道のり
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。