面積（上下・左右・媒介変数・逆関数）
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要点
面積を求める前に交点を求め、区間内でどちらの関数が上かを必ず確認する。上下が入れ替わる点があれば、そこで区間を分割する必要がある。媒介変数表示の曲線の面積はS=∫y(dx/dt)dtという置換積分の形になり、tの動く向き（増加か減少か）にも注意が必要。逆関数のグラフはy=xに関して対称という性質を使うと、計算を大きく省略できることがある。
こんなときに使う
- 面積を求める前に交点を求め、上下関係を確認する
- 逆関数のグラフが絡む面積はy=x対称性を利用できないか考える
手順
- 1. 交点を求めて積分区間を決める
- 2. 上下関係を確認し、上下が入れ替わる点があれば区間を分ける
- 3. (上−下)を積分する
例題
y=x²とy=xで囲まれた面積を求めよ。
解答
- 交点0,1。区間内でy=xが上。∫[0→1](x−x²)dx=1/2−1/3=1/6
別解・ほかの見方
- 逆関数の性質を使うと、y=f(x)とy=xとの面積を、逆関数f⁻¹の積分に置き換えられる場合がある
落とし穴
- 交点を出さずに積分区間を決める
- 上下が入れ替わる点を見落とす
- 交点を出さずに積分区間を決める／曲線の上下が入れ替わる点を見落とす
なぜ大事か
領域を正しく図示し、どちらの軸で積分するか選ぶ判断
東大での出方
領域を正しく図示し、どちらの軸で積分するか選ぶ判断。
確認問題
- y=√xとy=x²で囲まれた面積を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「積分の応用」のノード
- 面積（上下・左右・媒介変数・逆関数）
- 回転体の体積（x軸・y軸まわり）
- 非回転体の体積（断面積を積分する）
- 斜回転体・回転軸が座標軸でない体積
- 曲線の長さ・道のり
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。