置換積分（型の判別）
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要点
置換積分は、合成関数の微分{F(g(x))}′=F′(g(x))g′(x)を逆に読んだもの。両辺を積分すると∫f(g(x))g′(x)dx=F(g(x))となり、f(g(x))g′(x)という形を見抜ければ機械的に処理できる。定積分では積分区間もxからuの範囲に変換する必要があり、これを忘れるのが最頻出のミス。
こんなときに使う
- f(g(x))g′(x)の形（内側の微分がそのまま掛かっている形）を見たら置換を疑う
- f′(x)/f(x)の形はlog|f(x)|になる
手順
- 1. u=g(x)と置く
- 2. du=g′(x)dxの関係を使う
- 3. 定積分なら積分区間もuの範囲に変換する
例題
∫[0→1]2x/(x²+1)dxを求めよ。
解答
- 分子が分母の導関数なので[log(x²+1)]=log2−log1=log2
落とし穴
- 定積分で積分区間を変換し忘れる
- 定積分で積分区間を変換し忘れる／dx と dt の対応が雑
なぜ大事か
f(g(x))g'(x) の形を見抜く目。数III積分の半分はこれ
東大での出方
数III積分の半分はこれ。f(g(x))g′(x)の形を見抜く目。
確認問題
- ∫[0→2]x/√(x²+1)dxを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
- 有理関数の積分（部分分数分解）
- 三角関数の積分（次数下げ・積和・t=tan(x/2)）
- 無理関数の積分（√(a²-x²) 型の三角置換）
- 面積（上下・左右・媒介変数・逆関数）
- 曲線の長さ・道のり
- 計算の設計と検算（次数・単位・特殊値）
「積分法」のノード
- 不定積分の基本形（微分の逆）
- 置換積分（型の判別）
- 部分積分（何を微分側に置くか）
- 有理関数の積分（部分分数分解）
- 三角関数の積分（次数下げ・積和・t=tan(x/2)）
- 無理関数の積分（√(a²-x²) 型の三角置換）
- 定積分の性質（偶奇・周期・区間の対称性）
- 定積分と漸化式（I_n を n で結ぶ）
- 積分で定義された関数の微分（微積分学の基本定理）
- 区分求積法
- 積分と不等式（面積比較・評価）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。