不定積分の基本形（微分の逆）
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要点
積分は微分の逆演算であり、積分公式は覚えるものではなく、微分して元に戻るかで確かめるもの。∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+Cがn=−1で使えないのは、原始関数の形そのものが多項式ではなくlog|x|という別の関数になるから。∫dx/cos²x=tanxも、(tanx)′=1/cos²xを商の微分で確認すれば導ける。
こんなときに使う
- 積分公式を忘れたら、候補を微分して元の被積分関数に戻るか確認する
手順
- 1. 基本公式を思い出す、または微分して確認する
- 2. 積分定数Cを忘れずに付ける
例題
∫(3x²+2/x)dxを求めよ。
解答
- x³+2log|x|+C
落とし穴
- 1/xの積分でlog|x|の絶対値を忘れる
なぜ大事か
「見た瞬間に原始関数が浮かぶ」在庫の量が積分力そのもの
東大での出方
見た瞬間に原始関数が浮かぶ在庫の量が積分力そのもの。
確認問題
- ∫(4x³−1/x²)dxを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「積分法」のノード
- 不定積分の基本形（微分の逆）
- 置換積分（型の判別）
- 部分積分（何を微分側に置くか）
- 有理関数の積分（部分分数分解）
- 三角関数の積分（次数下げ・積和・t=tan(x/2)）
- 無理関数の積分（√(a²-x²) 型の三角置換）
- 定積分の性質（偶奇・周期・区間の対称性）
- 定積分と漸化式（I_n を n で結ぶ）
- 積分で定義された関数の微分（微積分学の基本定理）
- 区分求積法
- 積分と不等式（面積比較・評価）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。