部分積分（何を微分側に置くか）
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要点
部分積分の公式∫fg′dx=fg−∫f′gdxは、積の微分(fg)′=f′g+fg′を移項して積分するだけで導ける。微分側に置くべきは、微分すると簡単になる関数（logなら1/x、多項式なら次数が下がる）。eˣや三角関数は何度微分しても複雑にならないので積分側に置く。
こんなときに使う
- logやxⁿを含む積分は部分積分を検討する
- logは必ず微分側に置く
手順
- 1. 微分側・積分側を決める
- 2. ∫fg′=fg−∫f′gを適用する
- 3. 残った積分がさらに部分積分を要する場合は繰り返す
例題
∫[1→e]logxdxを求めよ。
解答
- logxを微分側、1を積分側にとって[xlogx−x]=(e−e)−(0−1)=1
別解・ほかの見方
- eˣsinx型は2回部分積分すると元の積分が再現され、方程式として解く
落とし穴
- logやarctanを積分側に置いてしまう
- logやarctan系を積分側に置いてしまう
なぜ大事か
log・多項式×指数/三角の定番。2回使って元に戻す型も必須
東大での出方
log・多項式×指数/三角の定番。2回使って元に戻す型も必須。
確認問題
- ∫[0→1]xe^xdxを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「積分法」のノード
- 不定積分の基本形（微分の逆）
- 置換積分（型の判別）
- 部分積分（何を微分側に置くか）
- 有理関数の積分（部分分数分解）
- 三角関数の積分（次数下げ・積和・t=tan(x/2)）
- 無理関数の積分（√(a²-x²) 型の三角置換）
- 定積分の性質（偶奇・周期・区間の対称性）
- 定積分と漸化式（I_n を n で結ぶ）
- 積分で定義された関数の微分（微積分学の基本定理）
- 区分求積法
- 積分と不等式（面積比較・評価）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。